Сферу исследования академика Сибирского составляют динамические системы дифференциальных уравнений, то есть именно те системы, которые описывают различные процессы и явления во Вселенной: природу, экономику, общество и т.д. Для некоторых из них могут быть найдены аналитические решения, но наиболее важные и очень сложные не могут быть решены путем интеграции. Даже для самых простых дифференциальных полиномиальных систем пока не известны пути решения некоторых проблем, сформулированных более ста лет назад. Исходя их этого, интерес к данным уравнениям очень актуален, а их исследования продвигаются в многочисленных престижных научных центрах мира.
Французский математик Пуанкаре основал качественную теорию систем, с помощью которых, вместо количественного исследования решений, предложил проведение геометрического исследования - качественного исследования соотношения между решениями. Классическая теория инвариантов, а именно полиномиальная инвариантная теория, под действием инициативой линейной группы GL(n,R), над формами n переменных степени m, была очень активной областью исследований во второй половине 19-го века.
Оригинальная идея Сибирского заключалась в постройке аналогичной теории, в которой формы в переменных n заменяются дифференциальными системами степени n. Исследуя данную область, академик Константин Сибирский разработал "метод алгебраических инвариантов в качественной теории дифференциальных уравнений". Академик Сибирский открыл алгебраические инварианты динамических систем для различных групп классических преобразований. Позже было доказано, что множество этих инвариантов для каждой системы, в частности, образуют алгебру, которая теперь именуется Алгеброй Сибирского.
В чем, все-таки, состоит описанный выше метод? Попытаемся проиллюстрировать это с помощью аналогии. Представим, что проанализированная дифференциальная система идентична планете. В подобной ситуации алгебру Сибирского можно считать спутником этой системы. В таком случае влияние инвариантов алгебры Сибирского на геометрию дифференциальных систем аналогична взаимному влиянию природных объектов, именуемых спутники и планеты. И, так же как влиянием Земли мы объясняем явления прилива и отлива вод морей и океанов на Земле, точно так же, с помощью алгебры Сибирского мы можем определить поведение сложных динамических систем, которые мы не можем с точностью решить.
Сегодня хорошо известно, что благодаря данному методу, могли быть окончательно решены довольно сложные проблемы теории дифференциальных уравнений. Данный метод алгебраических инвариантов был заимствован и развит в различных научных центрах мира (Канада, США, Бразилии, Испании, Франции, Словении и т.д.), а влияние школы Сибирского растет и по сегодняшний день.
Доктор хабилитат, Светлана Кожокару
Академик, Георгий Дука |
